Vamos a arrancar buscando las raíces de $f$ en este intervalo igualando la función a cero:

$2 \cos (2 x+\pi)-\sqrt{3} = 0$

Despejamos para reacomodar un poco:

$2\cos (2 x+\pi) = \sqrt{3}$

$\cos (2 x+\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

¿Ahora entendés cuál era mi objetivo y por qué empecé a despejar? Porque fijate que así nos quedó una ecuación muy parecida a las que estuvimos resolviendo en la tercer clase de Funciones Trigonométricas y acá en la guía en el Ejercicio $7$. 

Lo primero que me pregunto es... ¿Dónde el coseno vale $\frac{\sqrt{3}}{2}$? Bueno, en el primer cuadrante eso era en $\frac{\pi}{6}$, pero también hay otro ángulo, en el cuarto cuadrante, donde el coseno vale $\frac{\sqrt{3}}{2}$ y es $\frac{11\pi}{6}$. Por lo tanto, tooooodos los ángulos para los cuales se cumple que $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ son $\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ y $\frac{11\pi}{6} + 2k\pi$. 

Es decir, vamos a tener que igualar $2x+\pi$ a estas soluciones. 

$2x + \pi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$

$2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi - \pi$

$x = \frac{\pi}{12} + k\pi - \frac{\pi}{2}$

$x = -\frac{5\pi}{12} + k\pi$

De acá la única solución que pertenece a nuestro intervalo sale con $k = 1$ y es $x = \frac{7}{12} \pi$

Y de acá la única solución que pertenece a nuestro intervalo es la que tenemos con $k=0$ y es $x = \frac{5}{12} \pi$

Ahora, no te me olvides que tenés GeoGebra en la otra pestaña, podés verificar esta respuesta! Agregá otra entrada en el mismo gráfico y escribí los puntos $(\frac{5}{12} \pi, 0)$ y $(\frac{7}{12} \pi, 0)$ ¿son las raíces o no?

Ahora buscamos los $x$ que verifican que:

$f(x) = -2 - \sqrt{3}$

$2\cos(2x + \pi) - \sqrt{3}  = -2 - \sqrt{3}$

$\cos(2x + \pi) = -1$